非牛顿流体Non-Newtonian fluid

在讨论非牛顿流体前，首先要了解的就是牛顿流体的概念。

牛顿流体(Newtonian fluid)

简单的说：应力与应变为线性关系的流体称为牛顿流体。广义的说，满足广义牛顿定律的流体称为牛顿流体。

广义牛顿定律

广义地讲，反映物质物理性质之间的关系式统称为本构方程。在流体力学中，本构方程一般专指应力张量和应变率张量之间的关系。

1848年，斯托克斯首先研究应力张量和应变率张量之间的关系，他假设：

（1）应力张量是应变率张量的线性函数；

（2）流体是各向同性的，即流体性质与方向无关；

（3）当流体静止时，应变率为零，流体中的应力就是流体的静压强。
用P表示应力张量
$P=\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13}\\ p_{21} & p_{22} & p_{23}\\ p_{31} & p_{32} & p_{33} \end{bmatrix}$

用S表示应变率张量
   $S=\begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}) & \frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}) & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}) & \frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}) & \frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix}$
由假设（1），应力张力可以写为
   $\mathbf{P}=a\mathbf{S}+b\mathbf{I}$
牛顿对最简单的流体运动得出实验定律：两层流体间的切向应力与其速度梯度成正比：
   $\tau = \mu \frac{\partial u}{\partial y}$
用应力张量和应变率张量表示为
   $p_{12} = \mu \frac{\partial u}{\partial y}=2\mu S_{12}$
因此有 $a=2\mu$
   $p_{11}=2\mu \frac{\partial u}{\partial x}+b$
   $p_{22}=2\mu \frac{\partial v}{\partial y}+b$
   $p_{33}=2\mu \frac{\partial w}{\partial z}+b$
将以上三式相加，得
$p_{11}+p_{22}+p_{33}=2\mu (\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z})+3b$
因而
   $b=\frac{1}{3}(p_{11}+p_{22}+p_{33})-\frac{2\mu }{3}\triangledown \cdot v$
代入第一式可以得到
   $\mathbf{P}=2\mu \mathbf{S}+\left \{ \frac{1}{3}(p_{11}+p_{22}+p_{33})-\frac{2\mu }{3}\triangledown \cdot v \right \}\mathbf{I}$
由假设（3）可以得到
   $\mathbf{P}=-p\mathbf{I}$
比较上述两式，可见 $\frac{1}{3}(p_{11}+p_{22}+p_{33})$ 应包含

这一项，而且由于 $p_{11}+p_{22}+p_{33}$ 是应力张量的一个不变量，根据各项同性的假设，他也应与应变率张量的不变量 $s_{11}+s_{22}+s_{33}=div \mathbf{v}$ 有关，故有
   $\frac{1}{3}(p_{11}+p_{22}+p_{33})=-p+{\mu }'div \mathbf{v}$
于是
   $\mathbf{P}=2\mu \mathbf{S}+\left \{ -p+({\mu }'-\frac{2}{3}\mu )div \mathbf{v} \right \}\mathbf{I}$
令
   ${\mu }'-\frac{2}{3}\mu =\lambda$
则上式形式写为
   $\mathbf{P}=2\mu \mathbf{S}+\left \{ -p+\lambda div \mathbf{v} \right \}\mathbf{I}$
写成分量形式为
   $p_{11}=-p+2\mu \tfrac{v_1}{x_1}+\lambda div \mathbf{v}$

   $p_{22}=-p+2\mu \tfrac{v_2}{x_2}+\lambda div \mathbf{v}$
   $p_{33}=-p+2\mu \tfrac{v_3}{x_3}+\lambda div \mathbf{v}$
   $p_{12}=p_{21}=\mu (\frac{\partial v_1}{\partial x_2}+\frac{\partial v_2}{\partial x_1})$
   $p_{23}=p_{32}=\mu (\frac{\partial v_2}{\partial x_3}+\frac{\partial v_3}{\partial x_2})$
   $p_{31}=p_{13}=\mu (\frac{\partial v_3}{\partial x_1}+\frac{\partial v_1}{\partial x_3})$
式中的1,2,3在笛卡尔坐标系中分别对应与x,y,z。 $\lambda$ 称为体膨胀粘度系数，有时也称为第二粘度系数。上式就是广义的牛顿应力公式。

非牛顿流体Non-Newtonian fluid

借用以上定义，不满足广义牛顿定律的流体称为非牛顿流体。如聚合物溶液、悬浮液、水泥浆、浆糊、牙膏等都是非牛顿流体。
牛顿流体具有一个可严格地称之为粘度的特性参数，即 $\mu$ 。而所有的非牛顿流体，其本构方程都要求有两个或两个以上的特性参数。为方便起见，通常引进一个所谓非牛顿流体的视粘度，其定义为切应力 $\tau$ 与剪切速率 $\gamma$ 绝对值之比，用 $\mu _a$ 表示，即 $\mu _a=\tau /\gamma$ 。是应力-应变关系曲线上任一点A与坐标原点连线的斜率。它与应变率（剪切速率） $\gamma$ 有关，将 $\gamma =0$ 情形的视粘度记作 $\mu_0$ ，将 $\gamma\rightarrow \infty$ 情形的视粘度的极限值记作 $\mu_\infty$ 。
非牛顿流体可分为两大类：纯粘性流体和粘弹性流体。纯粘性流体是指在剪切力作用下产生的任何变形，在出去这种剪切力后都不能恢复原状的流体。它又可分为与实践无关和时间有关的两大类。粘弹性流体是指剪切力作用期间所产生的变形，在出去这种剪切力后能部分得到恢复的流体。

1 与时间无关的纯粘性流体

1.1 拟塑性流体
拟塑性流体切应力的增加率随速度梯度增大而变缓，及流变曲线上凸。
（1）幂律型
   $\tau = C\gamma ^n$ ， $\mu_a = C\gamma ^{n-1}$
其中C成为稠度系数，n<1，成为幂指数。若n=1就是牛顿流体，C就成为粘度。
（2）Prandtl-Eyring方程
   $\tau = Ash^{-1}(\frac{\gamma }{B})$ ， $\mu_a = \frac{Ash^{-1}(\frac{\gamma }{B})}{\gamma }$
其中，常数A，B是物质的流变系数。
（3）Powell-Eyring方程
   $\tau =\mu_\infty \gamma +\frac{1}{B^'} sh^{-1}({\frac{\gamma }{A^'}})$
（4）Ellis方程
   $\gamma =\tau (\varphi _0+\varphi _1\tau ^{\alpha -1})$ ， $\mu _a=\frac{1}{\varphi _0+\varphi _1\tau ^{\alpha -1}}$
1.2 膨胀性流体
对于膨胀性流体，一个无限小的切应力会使其运动。但切应力的增加率随速度梯度增大而增大，流变曲线上凹。从数学上讲，膨胀性流体也是幂律型，其幂指数n>1。
1.3 Bingham流体
对于Bingham流体，在其所受到的切应力达到屈服应力以前，其性质类似于固体是不流动的。超过屈服应力后，其应力-应变关系与牛顿流体类似。所以它的流变曲线是一条不通过坐标原点的直线，其本构方程为
   $\tau =\tau _0-\mu _p\frac{\partial V}{\partial r}$
其中， $\mu _p$ 称为塑性粘度， $\tau_0$ 是屈服应力。
高含沥青和焦油的高点读原油具有这种Bingham流体的流变性，只有当地层中的压力梯度大于启动压力梯度时，地层中的流体才开始流动。
1.4 屈服-拟塑性和屈服-膨胀性流体
某些流体具有屈服应力，但在大于屈服应力后其应力-应变关系不是一条直线。其本构方程有
（1）Herschel-Bulkleg方程
$\tau=\tau _0+C\gamma ^n$
n<1是屈服-拟塑性，n>1是屈服-膨胀性。
（2）双曲型
$\tau=\tau _0+\frac{a\gamma }{1+b\gamma }$
（3）Casson方程
   $\tau^{1/2}=\tau _0^{1/2}+\mu _\infty ^{1/2}\gamma ^{1/2}$

2 与时间有关的纯粘性流体

2.1 触变性流体

切应力随剪切持续时间增加而减小的流体称为触变性流体。很多原油特别是低于常温的原油显示出触变特性。

Moore（1959）提出含有5个材料常数的两个相当简单的关系式来描述不具有屈服值的触变性，即

$\tau =(\mu _0+c\lambda )\gamma$

$\frac{d\lambda }{d \theta }=a-(a-b\gamma )\lambda$

其中a,b,c是材料常数， $\lambda$ 是结构参数， $\theta$ 是剪切作用持续时间。
2.2 震凝性流体

对这种流体，在任一给定的剪切率下，切应力随时间而渐进地增加到接近最大值。震凝性流体也称触稠性流体。

3 粘弹性流体

粘弹性流体是指剪切力作用期间所产生的变形，在出去这种剪切力后能部分得到恢复的流体。从某种意义上说，所有的液体和拟均匀液-液或液-固混合物都可被认为是粘弹性的，只是有的弹性效应和微弱。

White，Metzner（1963）给出如下既简单又实用的本构方程：

$\tau _{ij}=-2\mu _ad_{ij}+\theta _r\frac{\partial \tau _{ij}}{\partial t}$

其中 $d_{ij}$ 是变形率张量的分量。对简单剪切情形，其绝对值等于 $\gamma$ ； $\delta /\delta t$ 是Oldroyd对流导数，物理量相对于随流体运动和变形的坐标系的时间变化率； $\theta _r$ 是物质的弛豫时间； $\mu _a$ 是视粘度； $\tau _{ij}$ 是切应力张量的分量。方程中的视粘度不是用特性参数和剪切率表示，它可通过幂律方程或其他与实践无关粘性流体的经验方程表示出来。应注意，若 $\theta _r=0$ ，改方程就是纯粘性流体的本构方程。而正应力p及弛豫现象是由涉及弛豫时间和对流导数的项所引起的。

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2 与时间有关的纯粘性流体

3 粘弹性流体

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