灰色预测原理及MATLAB实现

[原]灰色预测原理及MATLAB实现:

作者：金良（golden1314521@gmail.com） csdn博客：http://blog.csdn.net/u012176591

灰色模型预测的结果比较稳定，不仅适用于大数据量的预测，在数据量较少时（大于3个即可）预测结果依然较准确。

　　灰色系统理论是中国著名学者邓聚龙教授在1982年创立的一门新兴横断学科，它以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对部分已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行规律的正确认识和确切描述，并据以进行科学预测。

　　所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。

　　灰色预测Grey Prediction是以灰色模型Grey Model 为基础的，在诸多的灰色模型中，以灰色系统中单序列一阶线性微分方程模型GM(1,1)模型最为常用。下面简要介绍GM（1,1）模型。

　　设有原始数据

，n为数据个数。

例子中的原始数据为：

A=[89677,99215,109655,120333,135823,159878,182321,209407,246619,300670];

如果根据

数据列建立GM(1,1)来实现预测功能，则基本步骤如下：

（1）原始数据累加以便弱化随机序列的波动性和随机性，得到新数据序列：

　　　

例子中的相应数据为：

B=[89677,188892,298547,418880,554703,714581,896902,1106309,1352928,1653598]

（2）对

建立一阶线性微分方程：

　　　　

其中，a,u为待定系数，分别称为发展系数和灰色作用量，a的有效区间是(-2，2),并记a,u构成的矩阵为

。只要求出a,u，就能求出

，进而求出

的未来预测值。

第（3）步和第（4）步为求a,u的过程。

（3）对累加生成数据

做均值得到列项量并加上一列全1列向量，生成

矩阵，对原始序列进行截取获得列向量

，即

例子中的相应数据依次是：

E=-139284.5,-243719.5,-358713.5,-486791.5,-634642,-805741.5,-1001605.5,-1229618.5,-1503263
1,   1,     1,        1,        1, 1,   1,         1,         1
D=99215
109655
120333
135823
159878
 182321
209407
246619
300670

（4）用最小二乘法求解灰参数

，则

　　　　

例子中得到a= -0.146 u=69891

（5）将

带入

，并求解得

　　　　

为了与原序列

区分开来，故记为

。

（6）对函数表达式

及

进行离散，并将二者做差以便还原

原序列，得到近似数据序列

如下：

　　　　

clear
syms a b;
c=[a b]';
A=[89677,99215,109655,120333,135823,159878,182321,209407,246619,300670];
B=cumsum(A);  % 原始数据累加
n=length(A);
for i=1:(n-1)
    C(i)=(B(i)+B(i+1))/2;  % 生成累加矩阵
end
% 计算待定参数的值
D=A;D(1)=[];
D=D';
E=[-C;ones(1,n-1)];
c=inv(E*E')*E*D;
c=c';
a=c(1);b=c(2);
% 预测后续数据
F=[];F(1)=A(1);
for i=2:(n+10)
    F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a ;
end
G=[];G(1)=A(1);
for i=2:(n+10)
    G(i)=F(i)-F(i-1); %得到预测出来的数据
end 
t1=1999:2008;
t2=1999:2018;
plot(t1,A,'o',t2,G,'.r')  %原始数据与预测数据的比较
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